Онлайн-кружок по математике kvadratika.ru

Геометрия в пространстве. Площади сечений многогранников.

Теория

Примеры

Задачи

В основе построения сечений лежит четкое понимание и реализация ряда аксиом стереометрии (А1, А2), а также ряд теорем-следствий:
1) Через любую прямую и точку вне ее можно провести плоскость, и притом только одну.
2) Через любую точку вне данной прямой можно в пространстве провести параллельную данной прямую, и притом только одну.

СЕЧЕНИЯ ТЕТРАЭДРА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

ПРИМЕРЫ

.

Задача: Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60˚. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4√2 см.

Решение:

В начале решения задачи обращаем внимание на вид многогранника, у нас дана правильная четырёхугольная призма, значит боковые ребра перпендикулярны и в основаниях лежат квадраты.
Чтобы найти площадь сечения (площадь прямоугольника A1BCD1), надо умножить длину на ширину этого прямоугольника.
Для решения воспользуемся теоремой Пифагора и свойством угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике.
Получим, A1C = 8√2 см (по свойству угла 30 градусов, в треугольнике AA1C),
AA1=4√6 см (по теореме Пифагора из треугольника AA1C).
Так как в основании призмы лежит квадрат, то сторону квадрата можно найти через диагональ
для этого диагональ разделить на √2.
Значит, DC=AD=AВ=BC=4 см.
Далее, найдём по теореме Пифагора CD1=4√7
Площадь сечения равна S= 4·4√7=16√7 см².
Ответ: 16√7 см².

Задачи

№ 1
Дан единичный куб A...D1. Найдите площадь сечения куба, проходящего через середины рёбер АА1, ВВ1, B1C1.

№ 2
Дан единичный куб A...D1. Найдите площадь сечения куба, проходящего через вершину А и середины рёбер CD и DD1.

№ 3
Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 1. Найдите площадь сечения данной призмы, проходящего через середины рёбер АВ, ВС, А1В1.

№ 4
Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 1.
Найдите площадь сечения, проходящего через вершины А, В1 и С1.

№ 5
Дана правильная шестиугольная призма А...F1, все рёбра которой равны 1.
Найдите площадь сечения, проходящего через вершины А, С и С1.

№ 6
Дан тетраэдр АВСD, все рёбра которого равны 1.
Найдите площадь сечения, проходящего через середины рёбер AB, BD, CD/

№ 7
Дана правильная четырёхугольная пирамида SАВСD, все рёбра которой равны 1.
Найдите площадь сечения, проходящего через вершины S, B, D.

Сайт преподавателя математики Смирновой Юлии Сергеевны
г. Красноярск, Россия
2021

Контакты:

Работает на LPmotor