2 КУРС
Домашняя работа № 3. Непрерывность функции
Теория
Примеры
Задачи
1. Определение.
2. Функция f(x), непрерывная в каждой точке заданного промежутка, называется непрерывной на всём промежутке.
​
3. Любая рациональная функция непрерывна при всех значениях независимой переменной, при которых она определена.          Любая иррациональная функция непрерывна в любой точке области определения, кроме крайних точек, если они существуют.
4. Точки разрыва функции

ПРИМЕРЫ

.
1) Функции непрерывные на всей числовой прямой
2) Найти точку разрыва и значение функции в этой точке
Условие:
Дана функция
Найти точку разрыва и значение функции в этой точке.
Решение:
Построим график данной функции:
Функция терпит разрыв в точке х = 0, так как предел этой фунции при стремлении к нулю не существует.
Значение функции при х = 0 равно  f (0) = 0 - 1 = -1.
Ответ:  точка разрыва х = 0, значение функции равно -1.
3) Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и указать характер разрыва.
Дана функция
Решение:
Построим график данной функции
Эта функция определена во всех точках на промежутке от 0 до 4 включительно и её значение при х = 3 равно нулю. Однако в точке х = 3 функция претерпевает разрыв первого рода, так как :
Ответ: точка разрыва первого рода х = 3.
4) Пример функции с точкой разрыва второго рода
5)Исследовать функцию на непрерывность
Дана функция
Решение:
Построим график данной функции
Данная функция имеет разрыв, то есть не непрерывна, в точке х = 1, т.к. она в этой точке не имеет предела.
Ответ: не непрерывна, в точке х = 1 имеет разрыв.
6)Исследовать функцию на непрерывность в точке х = 1.
Дана функция
Решение:
Построим график данной функции
При х = 1 функция не определена, следовательно в точке х = 1 терпит разрыв.
Конечный предел существует, следовательно,
х = 1 - точка устранимого разрыва первого рода. 
Доопределив функцию в точке х = 1, т.е. положив f(1) = 0, получим новую функцию:
Эта новая функция будет уже непрерывна в точке х = 1.
Ответ: не непрерывна, в точке х = 1 имеет разрыв.
7)Исследовать функцию на непрерывность в точке х = 1.
Дана функция
Решение:
Построим график данной функции
При  х = 1 функция определена. Рассмотрим пределы функции слева и справа.
Так как пределы функции слева и справа равны и равны значению функции в этой точке, значит функция  в точке х = 1 непрерывна.
Ответ: функция непрерывна.
Задачи
(домашнее  задание)
(1 – 5) Исследовать на непрерывность,
найти точки разрыва и указать характер разрыва.
Скачать задачи
Сайт  преподавателя математики Смирновой Юлии Сергеевны
г. Красноярск, Россия
2021 ​

Контакты: 


© 2021
​