Предел важнейшее понятие математики. Понятие предела опирается на интуитивное представление о процессе изменения и неограниченного приближения. Точное математическое определение предела оформилось в математике лишь в начале XIX в. В связи с этим потребовалось уяснить понятие функции, а также развить теорию действительного числа. До этого почти два столетия в математике существовало интуитивное представление о пределе, однако и оно оказалось чрезвычайно плодотворным, так как внесло в математику совершенно новый метод рассуждений - метод пределов. Его применение и развитие привели к созданию дифференциального исчисления и интегрального исчисления, к созданию математического анализа.
Суть этого метода состоит в том, что для определения неизвестной величины находят её приближения, при этом не одно-два, а неограниченное число таких приближений. Если эти приближения становятся всё более точными, отличаются от определяемой величины всё меньше и меньше, то сама величина находится как предел этих приближений.
Подобных рассуждений древнегреческая математика не знала. Если в ней и рассматривались приближения, как, например у Евдокса и Архимеда в их «методе исчерпывания» при определении площадей и объёмов, то число этих приближений было невелико, и, кроме того, установление равенства между искомой площадью (или объёмом) и уже известной проводилось элементарными геометрическими методами. Теперь же, в методе пределов, строятся бесконечные приближения и неизвестная величина определяется как предел.
Метод пределов не возник сам собой, он оформился постепенно, в результате труда многих математиков, которые начали рассматривать новые для своего времени задачи, не решаемые элементарными методами. Это были задачи определения размеров тел и центра их тяжести, нахождении длин кривых, построения касательных к кривым, нахождения мгновенной скорости при неравномерном движении. Постепенно накапливался опыт и вырабатывались приёмы решения подобных задач в общей постановке, например задач, когда требовалось определить мгновенную скорость не в данном конкретном движении, а в любом, если только была известна зависимость пути от времени. Это привело к формированию на основе понятия предела новых понятий интеграла и производной, к созданию математического анализа. Очевидно, что с применением метода пределов потребовалось развить способы вычисления пределов, установить правила действий с пределами, т.е. создать теорию пределов. Основным понятием в этой теории стало понятие бесконечно малой – переменной, предел которой равен нулю. В этот период математический анализ назывался анализом бесконечно малых.