№ 1 (таблица 10.13)
Условие:
Прямая а перпендикулярна плоскости (АВС). АВСD - ромб. Доказать, что МО  перпендикулярно ВD.

Решение:
Прямая а перпендикулярна плоскости (АВС) (по условию).
СО  перпендикулярна ВD (по свойству диагоналей ромба).
Следовательно, МО перпендикулярно ВD (по теореме о трёх перпендикулярах), ч.т.д.

№ 2 (таблица 10.13)
Условие:
Прямая а перпендикулярна плоскости (АВС). МD  перпендикулярна ВС.
BD = DC. Доказать: АВ = АС.

Решение:
Так как MD перпендикулярна ВС (по условию), то AD перпендикулярна ВС (по теореме обратной теореме о 3-х перпендикулярах).
По условию BD = DC, значит AD - медиана треугольника АВС, а по доказанному выше она также является высотой, значит треугольник АВС - равнобедренный (признак равнобедренного треугольника), следовательно, АВ = АС , ч.т.д.

№ 3 (таблица № 10.13)
Условие:
​Прямая а перпендикулярна плоскости (АВС). МА перпендикулярна AD. АВСD - параллелограмм. Доказать, что АВСD - прямоугольник.

Решение:
Так как MА перпендикулярна AD (по условию), то AD перпендикулярна AB (по теореме обратной теореме о 3-х перпендикулярах).
Значит, углы в параллелограмме будут прямые, следовательно АВСD - прямоугольник, ч.т.д.

№ 4 (таблица № 10.13)
Условие:
​Прямая а перпендикулярна плоскости (АВС). АС перпендикулярна СВ. Найти МВ.

Решение:
Так как АС перпендикулярна СВ (по условию), то МС перпендикулярна СB (по теореме обратной теореме о 3-х перпендикулярах).
Рассмотрим треугольник АВС - прямоугольный. По т.Пифагора СВ = 15.
Рассмотрим треугольник МСВ - прямоугольный, МВ = 30 (по свойству 30 градусов).
Ответ: 30.

№ 1 (таблица № 10.15)
Условие:
​Прямая а перпендикулярна плоскости (АВС). DK = КС. ABCD - квадрат. Найти МК.

Решение:
ОК перпендикулярна DC, так как треугольник DOC равнобедренный
(диагонали квадрата делятся пополам) и ОК - медиана.
Так как ОК перпендикулярна DC, то МK перпендикулярна  DC (по теореме о 3-х перпендикулярах). Значит, треугольник МКС - прямоугольный.
Рассмотрим треугольник МОС - прямоугольный. По свойству 30 градусов  СО = 2.
Рассмотрим треугольник СОК - прямоугольный и равнобедренный,
СК=ОК.
Рассмотрим  треугольник МКС. По т. Пифагора найдём МК.

№ 2 (таблица № 10.15)
Условие:
​Прямая а перпендикулярна плоскости (АВС). MD перпендикулярна АВ. Треугольник АВС - прямоугольный. Найти МС.

Решение:
MD перпендикулярна АВ (по условию), значит CD перпендикулярна АВ (по теореме обратной т. о 3-х перпендикулярах).
Рассмотрим треугольник АВС - прямоугольный. По т. Пифагора  АВ = 25. Высоту CD найдём через площадь треугольника АВС (используются две формулы площади треугольника: половина произведения катетов и половина произведения высоты на основание). CD = 12.
Рассмотрим треугольник MCD - прямоугольный. По т. Пифагора МС = 5.
Ответ: 5.

№ 3 (таблица № 10.15)
Условие:
​Прямая а перпендикулярна плоскости (АВС). MD перпендикулярна АВ. Найти МD.

Решение:
MD перпендикулярна АВ (по условию), значит CD перпендикулярна АВ (по теореме обратной т. о 3-х перпендикулярах).
Рассмотрим треугольник АВС. Так как три стороны известны, найдём площадь этого треугольника по формуле Герона. S = 84. По другой формуле площади треугольника (половина произведения высоты на основание) найдём высоту CD = 12.
Рассмотрим треугольник MCD - прямоугольный. По т. Пифагора МD = 13.
Ответ: 13.

№ 4 (таблица № 10.15)
Условие:
​Прямая а перпендикулярна плоскости (АВС).  Найти МD.

Решение:
OD перпендикулярно ВС (радиус вписанной окружности), значит 
MD перпендикулярна ВС (по теореме  о 3-х перпендикулярах).
По формуле радиуса вписанной окружности в правильный треугольник АВС найдём OD.
Рассмотрим треугольник МOD - прямоугольный. По т. Пифагора  найдём MD.