Точка, прямая, плоскость, трёхмерное пространство - понятия, которые знакомы нам и мы имеем представление о том, как они выглядят в жизни. Расширение понятия пространства за пределы трёх измерений    возникло задолго до появления понятия векторов. Смутные представления о многомерном кубе, позволяющем распространить на произвольные степени геометрическую терминологию, аналогичную "квадрату" для второй степени и "кубу" для третьей, появились,  по-видимому, вместе с этими более высокими степенями. 
               У Диафанта (III в. н. э.) встречается 4-я, 5-я, 6-я степени, которые он называет "квадрато-квадратом",  "квадрато-кубом", и "кубо-кубом". 
  Средневековый комментатор Диофанта Абу-л-Вафа ал-Бузджани в своём трактате о геометрических построениях, изложив построение стороны квадрата, равновеликого трем равным квадратам, как диагонали куба, построенного на одном из этих квадратов, говорит, что "аналогичное построение применимо и в случае, когда число квадратов больше трёх", т.е. например, сторона квадрата,  равновеликого пяти равным квадратам, равна диагонали "квадрато-куба", построенного на одном из данных квадратов. Наиболее отчётливо эта идея была высказана Михаилом Штифелем пользовавшимся уже десятью степенями.
            Важную роль в развитии идеи многомерного пространства сыграли предложения французского энциклопедиста Жана Лерона Даламбера рассматривать время как четвертое измерение (1764 г.), введение Жозефом Луи Лагранжем обобщенных координат механической системы в "Аналитической механике" (1788 г.), а также в работе  Карла Густава  Якоби  (1834 г.).
               Термин "n-мерная геометрия" был введен Артуром Кэли (1843 г.).
       В настоящее время, помимо геометрии многомерного евклидова пространства, разработана геометрия многомерных аффинного, проективного и конформного пространств, многомерные неевклидовы геометрии, многомерные геометрии переменной кривизны (римановы геометрии) и более сложные геометрии аффиной, проективной и конформной связности, а также бесконечномерные геометрии различных типов.
           Многомерные геометрические представления в настоящее время систематически применяются для наглядного решения систем линейных уравнений и других задач линейной алгебры, для решения задач линейного программирования и других задач, в которых рассматриваются более трёх независимых переменных.