Домашняя работа
Вычисление линейных элементов и углов  призмы
​
Теория
Примеры
Задачи

     Призма обладает следующими основными свойствами, которые используют для решения задач:
1) основания призмы равные n-угольники, которые лежат в параллельных плоскостях;
2) боковые ребра призмы равны и параллельны;
3) боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов;
4) призмы бывают треугольными, четырёхугольными, пятиугольными, и т.п. Зависит от того какой многоугольник лежит в основаниях призмы;
5) если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то призма прямая и её боковые грани - прямоугольники;
6) если боковые рёбра призмы не перпендикулярны, то призма наклонная;
7) диагональ призмы - это отрезок соединяющий противоположные вершины призмы;
8) если призма прямая и её основания правильные многоугольники, то призма правильная;
9) куб, параллелепипед, прямоугольный параллелепипед - это призмы.
     Параллелепипед - это многогранник, составленный из двух равных параллелограммов (основания параллелелепипеда) и четырёх параллелограммов (боковые грани параллелепипеда).
 
    

ПРИМЕРЫ

.
1) Призма и её свойства
Учитывая свойства описанные в теории,  определим свойства для данного вида призмы

​
2) Примеры призм
На рисунке выделены два многогранника под буквами (а и г), которые являются призмами. Как вы думаете почему под буквами (б и в) не являются призмами?
​
3) Прямоугольный параллелепипед

Задача: В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.
Решение:  ​
Так как все грани прямоугольного параллелепипеда прямоугольники, то треугольники, образованные диагоналями граней и диагоналями параллелепипеда - прямоугольные. Воспользуемся теоремой Пифагора.
ВD = 13 см.
Треугольник BB1D прямоугольный, равнобедренный (т.к.один угол равен 45 градусам и второй 45 градусам). Значит, ВВ1=ВD=13 см.
Ответ: 13 см.
4) Прямой параллелепипед
Задача: Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.​
​
Решение:
Найти необходимо диагональ DB1, как вы думаете почему эта диагональ большая?...
Так как параллелепипед прямой, то боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Значит, треугольник DB1B прямоугольный и найти диагональ DB1 можно по теореме Пифагора.
DB1 = 26.
Ответ:  26 см.
​
5) Сечение правильной четырёхугольной призмы

Задача:  Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60˚. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4√2 см.
​

Решение:
В начале решения задачи обращаем внимание на вид многогранника, у нас дана правильная четырёхугольная призма, значит боковые ребра перпендикулярны и в основаниях лежат квадраты.
Чтобы найти площадь сечения (площадь прямоугольника A1BCD1), надо умножить длину на ширину этого прямоугольника.
Для решения воспользуемся теоремой Пифагора и свойством угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике.
Получим, A1C = 8√2 см (по свойству угла 30 градусов, в треугольнике AA1C),
AA1=4√6 см (по теореме Пифагора из треугольника AA1C).
Так как в основании призмы лежит квадрат, то сторону квадрата можно найти через диагональ
для этого диагональ разделить на √2.
Значит, DC=AD=AВ=BC=4 см.
Далее, найдём по теореме Пифагора  CD1=4√7
Площадь сечения равна S= 4·4√7=16√7 см².
Ответ:  16√7 см².
6) Диагонали прямого параллелепипеда
Дан прямой параллелепипед. Найти A1C  и  B1D.
Решение:
1) Найдём диагонали основания параллелепипеда, в основании лежит ромб, так как это параллелограмм у которого все стороны равны.
По теореме косинусов из треугольника ACD
AC²=AD² + DC² - 2·AD·DCcosD
AC=8√3
2) Треугольник BCD (образованный диагональю BD) равносторонний, так как все углы равны 60 градусам.
Поэтому BD=BC=DC=8
3) По теореме Пифагора:
из треугольника AA1C,  найдём А1С=2√57;
из треугольника  BB1D найдём B1D=10.
Ответ: 2√57; 10.
 
7) Угол между прямой и плоскостью основания призмы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 1, а боковое ребро равно √5, К –центр грани АA1D1D. Найдите угол между прямой KB и плоскостью основания.
Решение:
1) Найдём BH из прямоугольного треугольника BAH.
BH=√5/2,   (AH=1/2·AD=1/2)
2)KH=1/2·DD1=1/2·√5=√5/2
3) Так как BH=KH, то треугольник KHB равнобедренный.
KH перпендикулярно HB значит, треугольник KHB прямоугольный.
Значит, острые углы данного треугольника равны 45 градусам.
Угол KBH равен 45 градусов.
Ответ: 45˚.
Задачи
 № 1
Дана прямая призма, в основании которой лежит ромб. Один угол ромба равен 120°, сторона ромба 4. Боковое ребро призмы равно 3. Найдите диагонали призмы.
№ 2
​В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания равна 4 см. Через середину ребра А1С1 и сторону основания ВС проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если длина бокового ребра равна 2 см.
​
№ 3 
Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 7, 11, √55. Найдите диагональ параллелепипеда.
№ 4 
Скачать задачи
Сайт  преподавателя математики Смирновой Юлии Сергеевны
г. Красноярск, Россия
2021 ​

Контакты: 


© 2021
​