Свойства делимости
Теория
Примеры
Задачи

      Делимость - одно из основных понятий, относящихся к натуральным (или целым) числам.

      Для решения задач на делимость необходимо знать:
признаки делимости,  определение делимости двух чисел, свойства делимости.
      Определение делимости:
Пусть  a и b - натуральные числа. Говорят, что a делится на b, если существует натуральное число с  такое, что a=bc.

      Основные свойства делимости:

1) Если а делится на b, то a больше либо равно b.
2) Если а делится на b и b делится на а, то а=b.
3) Если a делится на b, то для любого натурального числа k произведение (ak)  делится на b.
4) Если a делится на b и b делится на c, то a делится на c.
5) Если a делится на b и c делится на b, то  (a + c) и  (a - c) делятся на b.
6) Если a делится на b и (a + c) делится на b, то с делится на b.
7) Если произведение (ac) делится на b и числа a и b не имеют общих делителей, отличных от единицы, то с делится на b.

      Деление с остатком:
 
Если a и b  - произвольные натуральные числа, то a  можно единственным способом представить в виде  a = bn+ r, где n и r - целые неотрицательные числа, причём (0 < r < b).  Число r  называется остатком от деления a на b. Если остаток r = 0, то говорят, что число a делится на число b.
Разделить число a на число b c остатком означает представить его в виде равенства a = bn + r.           

.
1) По определению делимости.
Какой вид имеет натуральное число, делящееся на 17?
РЕШЕНИЕ:
Запишем несколько первых чисел делящихся на 17 и представим их в виде произведения 17 и натурального числа от 1 до бесконечности:
(17 * 1), (17 * 2),  (17 * 3),  (17 * 4),  (17 * 5), и т.д.  (17 * n) - формула всех чисел делящихся на 17.
Иначе, из определения делимости следует, если число a делится на 17, то можно записать, что
a =17n, где n - натуральное число.

Ответ: a=17n.
2) Какой вид имеет натуральное число, не делящееся на 4?

РЕШЕНИЕ:
Согласно определению делимости с остатком,  любое натуральное число a имеет вид a = bq + r, где r=0, 1, 2, 3, …
Представим числа, делящиеся и не делящиеся на 4 в виде формулы:
a=4n+r.
Если число делится на 4, то a=4n.
Если число не делится на 4, то будет остаток при делении и формула примет вид: a=4n+1,a=4n+2,
a=4n+3, где n =0, 1, 2, 3, ...

Ответ: a=4n+1,a=4n+2,a=4n+3, где n =0, 1, 2, 3, ...

3) Задание на делимость
Условие:
Докажите, что при любом натуральном n число
не делится на   (n + 4).
Решение:
что и требовалось доказать.
4) Задание на делимость
Условие:
Известно, что выражение (14х + 13y)  делится на 11при некоторых целых х и y.
Докажите, что  (19х + 9y) также делится на 11 при таких   х и y.
Решение:
Рассмотрим сумму данных выражений
Мы видим, что сумма всегда делится на 11. А если первое слагаемое и сумма делится на 11, то второе слагаемое также делится на 11.
Что и требовалось доказать.
5) Найти остаток от деления
Условие:
Остатки от деления натурального числа m  на 7 и 8 равны 5. Найти остаток от деления числа m на 56.
Решение:
число (m - 5)  делится на 7 и 8, учитывая что 7 и 8 взаимно простые, значит (m - 5) делится на 56. Следовательно,  m - 5 = 56n или m = 56n + 5. Остаток равен 5.
6) Известны остатки от деления, найти число
Условие:
Найти наименьшее натуральное число, большее 7, остатки от деления которого на 10 и 17 равны 7.
Решение:
Пусть m - искомое число, тогда (m - 7) делится на 10 и на 17. Так как 10 и 17 взаимно простые, то (m - 7) делится на 170, то есть
m - 7 = 170 или m = 177.
Задачи
№ 1
Докажите, что если целое число делится на 5 и на 18, то оно делится на 90.
№ 2
Верно ли, что, если целое число a делится на 2148 и на 537, то оно делится на произведение чисел  2 148  и 537 ?
№ 3
Имеется 900 теннисных мячей. Какое наименьшее их число нужно добавить, чтобы мячи можно было поровну распределить между 77 теннисистами?
№ 4
Стаканчик с фруктовым десертом стоит 6 руб. 24 коп. Какое наибольшее число таких стаканчиков можно купить на 55 рублей?
№ 5
Найти остаток от деления натурального числа на 5, если известно, что остаток от деления этого числа на 15 равен 8.
Сайт  преподавателя математики Смирновой Юлии Сергеевны
г. Красноярск, Россия
2021

Контакты: 


© 2021